論文の概要
Ideal tetrahedral decompositions of hyperbolic
3-manifolds
カスプつき双曲的多様体は凸理想的四面体分割が出来ると予想されているが、未だに解決されていない。この予想の部分解として次の定理を示した。
定理 2この理想的多面体を張り合わせてカスプつき双曲的多様体を構成する。但し、少なくとも一方の理想的多面体の面はすべて、他の理想的多面体の面に張り合わせる。このカスプつき双曲的多様体は凸理想的四面体分割が出来る。
An inequality for polyhedra and ideal triangulations of
cusped hyperbolic 3-manifolds 和田昌昭 山下靖との共著
先の論文`Ideal tetrahedral decompositions of hyperbolic 3-manifolds'の結果を一般化して次の定理を示した。
定理 凸理想的多面体 P_1,... ,P_n を張り合わせて双曲的３次元多様体 M を構成する．ただし， P_i (i =1,... ,n-1) の面は全て
P_n の面に張り合わせる．このとき M は凸理想的四面体分割をもつ．
Invariant trace fields and commensurability
of hyperbolic 3-manifolds
3次元双曲的多様体に invariant trace field というものが定義されている。 Reid によって下記の性質が示された.
定理 互いに通約可能な２つの有限体積完備双曲的3次元多様体は invariant trace field が同じである.
ここで通約可能とは共通の有限被覆空間を持つことである. 上記の定理の逆は一般には成立しないことを示した. 正確に述べると次のようになる.
定理 invariant trace field が同じであるが, 互いに通約可能でない任意有限個の双曲的多様体が構成できる。
Edges of canonical decompositions for
2-bridge knots and links
作間誠とＪ．Ｗｅｅｋｓが双曲的交代結び目の極軸がその捕空間の標準的分割の辺にisotopic であると予想している。実際、SnapPeaというソフトウェアを用いて調べたところ、10交叉点まではこの予想が正しいことが確かめられている。九州大学大学院生の秋吉宏尚氏との共同研究で、特に２橋絡み目ある条件の下では正しいことを証明した。正確に言うと次のことを示した。
定理[秋吉 吉田]：C(a_1,…,a_n)を2橋結び目または絡み目のコンウェイ表示とする。|a_1|,…,|a_n|が十分大きいとき交叉点の極軸は標準的分割の辺にisotopic である。
Epstein-Penner
decomposition and thrice punctured spheres in hyperbolic 3-manifolds
上記の結果を一般化して交代結び目についても同様の条件の下でこの予想が正しいことを証明した。
定理[吉田]：交代結び目の正則図において、ある交叉点を自明なタングルT(２n) にとりかえる。このときnが十分大きければこのタングルの交叉点の極軸は標準的分割の辺にisotopic
である。
Volumes of orientable
2-cusped hyperbolic 3-manifolds
Mをorientable 2-cusped hyperbolic 3-manifoldとする。
このときvol(M) > 2.3952 v_0.
ここでv_0とは regular ideal tetrahedron の体積で1.01494とする。